Apesar de simples, a noção de conjuntos não possui definição matemática. Ao sermos questionados sobre ela, podemos apresentar diversas respostas para o mesmo assunto. Porém, quando exemplificamos, ele se torna mais simples: o conjunto de cartas de um baralho, o conjunto de cartas vermelhas de um baralho ou até mesmo o conjunto de cartas vermelhas de número 7 de um baralho.

A Teoria dos Conjuntos foi desenvolvida pelo matemático, físico e filósofo russo Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918). Em sua busca pelos conceitos infinitos da matemática, ele desenvolveu um novo campo de estudo.

Em sua teoria, um conjunto é definido com a coleção ou agrupamento de elementos. Quando um elemento faz parte de um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto.

Exemplo:

A B ou B = {A}
C
D ou D = {E,F,G}

Esse caso é chamado de relação de pertinência. Mas antes de aprofundarmos no assunto, precisamos apresentar alguns conceitos importantes.

Símbolos e notações

Usualmente alguns símbolos são utilizados para diferenciar e apresentar conjuntos, eles são:

  • Utilizam-se os símbolos (pertence) e (não pertence) para relação de pertinência.
  • Utiliza-se o símbolo ∃ (existe) para apresentar existência.
  • Utiliza-se o símbolo | (tal que) para relacionar elementos e conjuntos.

Ao representarmos um conjunto, é comum que os elementos estejam separados por vírgula (,) ou ponto e vírgula (;) em casa de números com decimais. Além disso, é possível relacionar conjuntos fundamentais na matemática (reais, inteiros, racionais, naturais) com elementos de conjuntos específicos:

C = {1;1,2;1,3}.

C = {1;1,2;1,3}.

Lê-se: C é o conjunto dos números 1 (um), 1,2 (um vírgula dois) e 1,3 (um vírgula três).

C = {x ∈ R | 0 < x <3}

Lê-se: C é o conjunto de números reais x tais que x é maior que 0 e menor que 3.

Para representar conjuntos como os inteiros ou naturais é comum o uso de reticências (…):

N = {0,1,2,3,4,…}

Subconjuntos

O conceito de subconjunto é utilizado para definir um conjunto que contenham todos os elementos de outro, um conjunto que pertença a outro. Entre conjuntos utilizamos a relação de inclusão, ao invés da relação de pertinência.

O conjunto B pertence a A.O conjunto B pertence a A.

É importante não confundir subconjunto e igualdade de conjuntos, no segundo caso os elementos de A e B são os mesmos.

Conjunto vazio

É um conjunto que não possui nenhum elemento. Pode ser representado por Ø ou por {}. É importante destacar que o conjunto vazio está presente em todos os conjuntos.

Operações

Existem 4 operações mais utilizadas quando estudamos conjuntos, falaremos de cada uma e traremos exemplos:

União: Essa operação consiste em unir os elementos de dois ou mais conjuntos e é usualmente expressada por A B.

União de A com B (A ∪ B).União de A com B (A ∪ B).

Aqui valem algumas características importantes:

  • A ∪ ∅ = A (A união de qualquer conjunto com um vazio é o próprio conjunto);
  • A ∪ A = A (propriedade recíproca);
  • A ∪ B = B∪A (propriedade comutativa);
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ou A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (propriedade associativa).

Exemplo:

A = {x ∈ R | 1 < x < 3}
B = {y ∈ R | 2 < y < 4}
A ∪ B ={y ∈ R | 1< x < 4}

Interseção: Nessa operação, são descobertos os elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos analisados e é usualmente expressada por A ∩ B.

Interseção de A com B (A ∩ B).Interseção de A com B (A ∩ B).

Aqui também valem algumas características importantes:

  • A ∩ ∅ = ∅ (A união de qualquer conjunto com um vazio é vazio);
  • A ∩ A = A (propriedade recíproca);
  • A ∩ B = B ∩ A (propriedade comutativa);
  • A ∩ (B ∩ C)  =  (A ∩ B) ∩ C (propriedade associativa).

Exemplo:

A = {1,2,3}
B = {3,4,5}
A ∩ B = {3}

Complementar: O complementar de um conjunto A em outro B (B–A) é definido com o os elementos que o conjunto A precisa ter para conter o conjunto B.

Complementar de A em B (CBA).Complementar de A em B (CBA).

Exemplo:

A = {0,1,3,4}
B = {1,2,3}
CBA = {2}

Diferença entre conjuntos: A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B (A–B ou A/B).

Diferença entre A e B (A–B ou A/B).Diferença entre A e B (A–B ou A/B).

Aqui também valem algumas características importantes:

  • A ∩ ∅ = ∅ (A união de qualquer conjunto com um vazio é vazio);
  • A ∩ A = A (propriedade recíproca);
  • A ∩ B = B ∩ A (propriedade comutativa);
  • A ∩ (B ∩ C)  =  (A ∩ B) ∩ C (propriedade associativa).

Exemplo:

A = {x ∈ R | 0 < x < 5}
B = {y ∈ R | 2 < y < 100}
A/B = {Z ∈ R | 0 < z < 2}

Por Alfredo Henrique,
Graduado em Engenharia Mecânica e Apaixonado por Exatas.

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